三线合一性质定理(三线合一性质)

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1、三线合一，指三角形顶角角平分线，底边上的高，以及底边上的中线重合，即三条线段合为一条。

2、三线合一的证明：已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。

3、求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD等腰三角形ABC(AB=AC)证明：在△ABD和△ACD中：{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）AB=AC(等腰三角形的性质)AD=AD（公共边）∴△ADB≌△ADC（SSS）可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）∴AD⊥BC得证三线合一应用：① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

4、② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

5、③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

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