地球上的沙粒与宇宙中的星星,哪个数量更多?

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地球上的沙粒和宇宙中的星星哪个多? 在远离人造光的晴朗夜晚,单凭肉眼你至少可以看到一两千颗星星; 如果当晚没有月亮而你的视力又特别好的话,你可以看到将近四千颗。 一把沙子里的沙粒要比这多得多。 太空之广袤,令人望而生畏。 强大望远镜的观测表明,太空包含大量星系,每个星系都拥有数十亿颗星星; 我们星球上的沙漠、海滩和海床里都含有大量沙粒,同样令人眼花缭乱。 那么,在这场数字游戏中,沙粒和星星谁会胜出呢?

美国夏威夷大学的研究人员在2003年的一项研究中估算出,地球上沙粒的数量为750亿亿,或者说75后面跟着17个0。至于整个可观测宇宙中的星星,他们得出的数字为700万亿亿,相当于一颗沙粒对应约一万颗星星。

古希腊数学家和科学家阿基米德(Archimedes)也对这类问题感兴趣。公元前3世纪,他写了一篇名为《数沙者》(The Sand Reckoner)的短文给锡拉库萨(又译作叙拉古)国王革隆(Gelon)。这篇面向非专业人士的短文既准确又清晰,也被认为是第一篇研究说明性论文。阿基米德在文中提出了一个问题:填满整个宇宙需要多少颗沙粒。

当然了,这个问题的答案取决于沙粒的平均大小和宇宙的大小。按照阿基米德非常慷慨(甚至不切实际)的估算,一粒小米粒可以容纳一万颗沙粒,这使得一颗沙粒的大小几乎可以忽略不计。他还估算出,40粒小米粒并排放在一起,可以达到一根手指的宽度,大约19毫米。这样,一个直径为一指宽的球体可以容纳6.4亿颗沙粒。

阿基米德又根据前辈阿利斯塔克(Atistarchus)的经典日心说,估计了宇宙的大小。在当时的日心说所描述的太空模型中,地球绕太阳运行,恒星固定在一个同样以太阳为中心的球体上,但距离要远得多。当地球从太阳的一侧运行到另一侧时,古希腊人无法辨察出天空中恒星相对位置的任何变化,即所谓的视差,意味着恒星与太阳的距离必须有一个最小值。阿基米德据此估算出了当时已知宇宙的最小可能直径——写成现代单位,大约为2光年。

今天,我们可以很容易地通过数学计算得出,要填满一个直径2光年的球体需要多少颗阿基米德估算大小的沙粒。答案约为1后面63个零,也可以紧凑地写成1063——10×10×10×…×10(有63个10相乘)。而阿基米德面临的问题是,在他那个时代,还没有我们这种表示大数的简便方法。我们现在使用的从0到9的阿拉伯数字,大约在其800年后才出现(而且还是出现在印度,不是在阿拉伯地区)。位值制记数法,即根据同一符号的不同位置来表示其数量级(例如30、300和3000中的3)的方法,彼时在古巴比伦还处于起步阶段,尚未传入古希腊。况且当时还没有指数这样的记数法,即一个数自乘多少次可以写成上标(即1063中的63)。

阿基米德意识到,要表示他在计算宇宙沙粒时所产生的那种巨大的数,必须想出一套全新的数字命名系统。阿基米德首先将所有不超过myriad myriad的数定义为“第一阶”的数,然后从这里开始无限延续下去。对我们来说这似乎并不是一个很大的进步,因为我们可以很容易地将myriad myriad写成104×104,也就是108(1亿)。但是阿基米德开始他的大数项目时,并没有指数记数法,用指数来表示一个数自乘次数。

在将所有不超过myriad myriad的数定义为第一阶的数之后,阿基米德继而考虑了介于myriad myriad和myriad myriad乘以myriad myriad(1后面跟着16个0,也就是1016)之间的数,并将这些数称为“第二阶”的数。之后他依此类推,以同样的方式定义了“第三阶”“第四阶”的数——后一阶都是前一阶的myriad myriad倍。最终,他达到了“第myriad myriad阶”的数,换句话说,在指数记数法中,这个数是108自乘108次,即108的108次方,等于10800,000,000。他将所有这些数定义为“第一周期”的数,如果将其中最大的数完整写下来,会有8亿位。他把10800,000,000这个数作为“第二周期”的跳板,以它为起点再次开始这个过程。他用同样的方法定义了第二周期里的阶,每个新的阶都是前一阶的myriad myriad倍。到“第myriad myriad周期”结束时,阿基米德得到了myriad myriad的myriad myriad乘以mytiad myriad次方这么大的数,我们可以将它写成1080,000,000,000,000,000,即10的8亿亿次方。

请记住,阿基米德并不知晓我们书写大数的紧凑写法,古希腊数学中甚至没有零的概念。他从一个为超过几亿的数命名都困难的系统出发,创造了一种可以描述在10进制下有8亿亿位的数的方法。

事实证明,在数沙项目中,阿基米德并不需要这么大的数。利用他对一颗沙粒和整个宇宙大小的估计,阿基米德得出的数只达到了第一周期的第八阶。用指数记数法,仅仅8×1063颗阿基米德估算大小的沙粒就足以填满希腊人认知里直径2光年的宇宙。即便使用现代更大的估计——可观测宇宙的直径为920亿光年,填满它也用不到1095颗沙粒,而这个数刚刚才达到阿基米德第一周期的第十二阶。

《数沙者》是最前沿的工作。阿基米德不仅在有限的数据条件下提供了一幅与我们现在所知最接近的宇宙图景,而且发明了一种描述大数的全新方法。阿基米德是第一个在没有现代记数法的情况下解决了命名和操作大数问题的人。他使用以10,000为底的数字系统,有效地开创了幂运算——即将一个量提升到另一个量的幂次的过程。他还发现了同底数幂相乘指数相加的规律,即对于任意的数x,m,n,有xm×xn=xm+n。例如32×33=(3×3)×(3×3×3)=35。

阿基米德第一个证明了人有可能超越其时代传统——在他所处的那个时代,大数传统上被简单地称为“无数”。这种处理方式在描述沙粒和星星时尤为明显。比阿基米德更早的古希腊诗人品达(Pindar)在其《奥林匹亚颂》第二首(Olympus Ode Ⅱ)中写道:“沙粒无法计数。”希腊语中甚至还有一个词psammakósioi(字面意思“沙百”),就是用来表示“不可数的”。《圣经》的作者也放弃了沙粒和星星的计数。《圣经》里有21处提到不可能计算出沙粒的数量。《旧约·创世记》中说:“海边的沙,多得不可胜数。”《新约·希伯来书》更是将沙粒和星星混为一谈:“如同天上的星那样众多,海边的沙那样无数。”

正如我们所见,阿基米德并没有把自己局限在海边甚至整个地球的沙粒上。他想象整个宇宙都充满了小到几乎看不见的沙粒,这样就保证了同时代没有人能超过他估算的数。几百年后,世界另一个地方的学者,出于截然不同的目的,也写了一些关于大数的见解。如果能知道阿基米德会如何看待后人的努力,那将是一件很有意思的事情。

《超越无穷大数比较》视频截图

或许你会问,这个世界上真的有最大的数吗?

在不加任何修饰限定的情况下,答案显然是否定的:无论说出多大的一个数,通过简单的「加 1 」,我们就可以得到一个更大的数。但探寻最大的数这一问题并没有就此终结。因为科学家真正感兴趣的,是那些大且「有意义」的数,正是「有意义」,让这场寻找最大的数的冒险成为公认的终极智力挑战。

为了找出答案,曼彻斯特大学天文学博士戴维·达林和青年数学家阿格尼乔·班纳吉携手展开了一场史诗般的探索之旅。在《沙粒、围棋和无穷:寻找最大数的数学史诗之旅》一书中,他们以寻找最大的数为线索,边回顾数学发展史及伟大数学家的故事,边通过寻找世界上最大的数这一终极智力挑战前往数学宇宙的最远处。

《沙粒、围棋和无穷:寻找最大数的数学史诗之旅》

‍♂️ 作者:[英] 戴维·达林,[英] 阿格尼乔·班纳吉

译者:张旭成,韩琨

分类:科普·数学

作者简介

戴维·达林,曼彻斯特大学天文学博士。在过去的35年里,他一直是一名自由职业的科普作家,写过大约50本关于宇宙、物理、哲学和数学等学科的书。他的个人网站和社交媒体主页“发现数学”是公众广泛使用的在线资源。他目前正在制作一个以科学为主题的音乐节目,名为“科幻体验”。

阿格尼乔·班纳吉,出生于印度加尔各答,但大部分时间都在苏格兰度过。班纳吉的非凡数学天赋在他很小的时候就得到了认可。2018年,他在国际数学奥林匹克竞赛中获得满分,并列第一,这使他成为世界上杰出的年轻数学家之一。班纳吉目前正在剑桥大学三一学院继续自己的学业。

译者简介

张旭成,德国杜伊斯堡-埃森大学博士,研究方向为代数几何。目前在清华大学丘成桐数学中心从事博士后研究工作,曾译《素数的阴谋》。

韩琨,文学硕士,先后毕业于中国人民大学、香港中文大学。科普图书编辑,现居北京。

一句话推荐

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