原子核为何会自发衰变？《张朝阳的物理课》计算铀238α衰变半周期

原标题：原子核为何会自发衰变？《张朝阳的物理课》计算铀238α衰变半周期

原子核为何会自发衰变？为何说核的α衰变是一个纯粹的量子过程？怎么计算一个原子核的寿命？

4月16日12时，《张朝阳的物理课》第138期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先介绍了原子核以及核α衰变的模型，事实上后者是α粒子隧穿库伦势垒的过程。利用上一节课计算得到的方势垒透射系数，张朝阳近似计算了α衰变的半衰期，发现其中的规律可以表达为一个与核电荷数、半径以及衰变能相关的线性函数。

原子核α衰变是一个量子隧穿过程

进入近代，继原子的核外电子排布后，量子物理学取得的又一成就是对原子核物理性质的描述。现在我们知道，原子核由中子和质子组成，核力努力将众多核子束缚在一起，而核子之间的电磁相互作用使他们相互排斥。当二者达到平衡时，原子核就形成了。但是作为强相互作用的剩余部分，核力的力程——也就是它起作用的距离——十分有限。当原子核容纳了越来越多的核子，尺寸变得越来越大时，核力的束缚效果逐渐衰减。

与其相反，电磁相互作用比如典型的库仑力的作用范围可以延伸到无穷远。于是很自然地，随着尺寸的增大，库伦排斥逐渐压倒核力的束缚作用，原子核逐渐变得不稳定。比如在典型的重核铀238中，238个核子之间可能会有2个质子和2个中子一起形成相对独立的集团——即一个氦核，又被称为α粒子。接下来，这个氦核在库伦力的作用下逐渐向外行进，从结果上看即是从铀238的原子核中飞射出一个氦核：

这个过程在物理上称为原子核的α衰变现象，它在自然界中普遍存在，是重核不稳定性的主要体现。

值得注意的是，氦核逐渐远离并不是一个经典物理的过程，而是一个量子隧穿的过程。事实上我们可以用一个简单的模型来描述氦核的运动。以铀原子核质心的位置为原点建立坐标系，首先在近距离处，氦核感受到一个很强的核力，而库伦力的效果近似可以忽略。为了简单起见，我们用一个深势阱来表征这个束缚作用。而当氦核稍微越过核的边界（记为r_0处）时，核力会迅速衰减，此时变为库伦势起主导作用。如果我们忽略这个转变的细节，将核力作用部分处理成方势阱，即可以得到如图所示的势场。

我们的模型即是一个能量为E的氦核在这个势场上运动。首先由能量守恒和相对论质能公式

可以估计

注意这里的质量都指的是静止质量。再来估计库伦势垒的高度，也就是库伦势在r_0处的取值。根据前面的描述，我们认为在此处α粒子将逐渐脱离其余234个核子（一个钍核）的拉扯，开始独立运动。也就是说，此处可以近似看作是钍核的表面。而将钍核近似看作球体时，它的半径可以用中重核半径公式近似给出

代入到库伦势中，

这里我们利用了真空介电常数

以及元电荷电量

可见事实上

如果按经典物理的观点，α粒子根本不可能越过这道“墙”跑到外界，但在支配量子力学的框架下，这是可能的。

（张朝阳描述α粒子隧穿库仑势垒的过程）

以方势垒近似库伦势垒求解衰变概率

在上一节课中，我们已经看过了粒子越过“墙”的实例。当一个平面波的行进途中碰到一个方势垒，它有概率会被反射然后反向传播，但也有概率会穿透这个势垒继续向前。前面已经计算得到，粒子面对方势垒的透射系数为：

其中V是方势垒的高度，l是势垒的宽度，系数

再看α粒子隧穿的过程，事实上，如图所示，库伦势垒可以近似地被看成是由一系列方势垒（红色长方形）并在一起组合而成。α粒子要穿越库伦势垒，即是要依次穿越每个方势垒，直到穿出整个库伦势场。

为了完成这样一个划分，首先要确定每个方势垒的长度。一方面，从方势垒透射系数的数学表达式中可以看到，穿越方势垒的概率与势垒的宽度直接相关，且势垒越宽时，穿透势垒的概率会越小。为了避免计算的繁杂和物理上一些次级效应的引入，我们应该尽可能地取到足够宽的划分。但另一方面，为了足够精确，方势垒的叠加应该尽可能地还原出原来库伦势的形状。事实上，这与用方块面积求和去逼近积分的思路是一致的。为此，这个宽度又不能太大而是尽可能地取小。可以看到，恰当地选取宽度以平衡两者将是求解问题的关键。

首先在透射系数的计算中，我们希望选取一个合适的宽度Δl使得近似

成立。相应的条件是

利用势垒最高点估算系数

这里α粒子的质量近似以核子的平均质量

作估计。普朗常数与光速的乘积是一个物理学常数

其次，计算粒子出射势垒的位置r_c。利用等式

可得

我们希望选取的宽度能够让我们尽可能逼近库伦势垒的形状，要求是

综合这两个约束，一个合适的选取方案是取

此时有

在量级上满足我们对近似的要求。张朝阳强调，因为本节课上我们希望解决的是一个实际的物理问题，而不仅仅是解答一道习题，前者在计算上往往比较复杂，需要耐心和细心。同时需要注重对物理量的估计，利用对量的把握去认识和抓住最主要的物理内容。

在这个近似和划分下，每一个方势垒的透射系数可以写为

同样利用最高点估计

所以，

（注：更严谨的处理方法是先积分再比较作近似，以避免在r_c附近的瑕疵，为了避免计算繁杂，这里及前面仅用了具有代表性的值以说明近似结果）可以看到，每经过一个势垒，α粒子穿透的概率都是指数级地被压低。接下来我们忽略一些次级效应，将粒子依次穿越每个方势垒的过程都认为是独立进行的，于是有粒子穿越整个库伦势垒的概率近似为

指数部分的求和展开来写是

可以把它看成是对积分

的逼近。将这个积分值定义为γ，则有

（张朝阳推导α粒子穿透库伦势垒的概率）

半衰期的线性公式

事实上，实验上发现，α衰变的半衰期可以近似总结为一个仅与衰变能量和母核整体性质相关的线性函数。为了从理论上证明这一点，我们首先计算上一节中指数的积分

为了计算这个积分，首先做换元

得到

化简后，也即

接下来注意到

首先有

对余弦函数 y = tan θ，如果

时，应该有

但是值得注意的是，此时r_c与r_0的比值并不足以大到使得上述近似能够很好地成立。为了更仔细地讨论这个问题，可以记

利用

知道偏离量δ满足

由于偏离量很小，所以应该有

即积分的结果

进一步化简，利用r_c的定义，有

及

所以有

其中k_1和k_2是由物理学常数决定的两个系数。如果代入具体的数值，可以估算到

在整个讨论中，事实上是在做一个半经典的近似去解决实际的物理问题。在半经典的图像中，α粒子将以一定速度在原子核内自由移动，然后不断撞击库伦势垒。近似地，如果记这个移动速度为v，单位时间内粒子与势垒的碰撞次数可以近似估计为

前面我们已经计算了单次碰撞的隧穿概率，即有衰变速率

如果记铀238的粒子数为N(t)，它应当满足微分方程

即

所谓半衰期τ，即粒子衰变为初始粒子数一半的时间，即满足方程

可以解得

对两边取对数，有

由于对不同的核，α粒子的速度v变化事实上并不大，取对数后可以近似地看成常数k_0。于是有

此即我们想要求得的线性关系。

（张朝阳推导α衰变半衰期的线性公式）

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本节课相关视频如下：

总透射率的计算

用微积分的思想表示总透射率

透射率公式的近似