量子力学中的散射是怎样的？《张朝阳的物理课》介绍散射定态及其截面

原标题：量子力学中的散射是怎样的？《张朝阳的物理课》介绍散射定态及其截面

自由粒子射入一个势场中会发生什么？在量子力学中应该怎样描述粒子的散射波函数？

4月28日12时，《张朝阳的物理课》第一百三十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先回顾了前面几节直播课介绍的关于波包演化的物理知识，阐述了为什么在量子力学中一般不直接研究波包而是研究单一平面波的演化。接着，张朝阳考虑了散射定态问题，在单一频率平面波入射的情况下求出了散射波的渐近形式，并在此形式的基础上得到了散射截面的表达式。

回顾课程内容 阐述为什么分析平面波

在近一个月的物理直播课中，张朝阳详细介绍了一维平面波在特定几种势下的解，其中包括阶梯型势垒、方形势垒等，同时也考虑了一些特殊情况下的波包演化过程，包括自由波包的演化、波包遇到无限高墙时的反射过程。

在一般情况下求解量子力学问题都是先求解对应的定态薛定谔方程：

这样会得到一系列能量本征态ψ_n，那么一般的量子态可以表示为

在（一维）自由粒子的情况下，相应的能量本征态为平面波e^{ikx}，对应的能量为

其中m是粒子的质量。一般的波包可以由这些平面波叠加得到。比如，张朝阳曾经计算过自由高斯波包的演化，其中就涉及到高斯波包按平面波的展开。

张朝阳也计算过高斯波包在无限高墙壁处的反射情况。假设波包的最高处在t=0时刻运动到墙壁处，那么在t远小于0时，这个波包受墙壁的影响很小，它近似为向墙壁运动的高斯波包；当t远大于0时，它则近似为远离墙壁运动的高斯波包。而当t不大不小的时候，入射波包与反射波包会发生强烈的干涉，此时不能简单地将其看作是高斯波包。

张朝阳分析过平面波遇到无穷长势垒阶梯时的情况，其中粒子能量小于势垒高度。在此情况下，粒子会被全反射回去，但是在它被反射离开之前，它有可能会“渗入”势垒内——从波函数的角度来看就是势垒位置处的粒子波函数不为零。

这一点导致反射波与入射波存在一个相位差，相位差的大小依赖于入射粒子的k参数大小。张朝阳介绍说，尽管这个结果是在平面波的情况下得到的，但是我们可以通过将这些定态解叠加得到一般形式下的解。

在处理方形势垒的隧穿问题时，张朝阳也是只分析了平面入射波的情况。有了平面波的结果，要得到一般波包的相应结果只需要使用叠加原理即可，不存在原则上的困难，只是计算比较繁琐而已。

由此，即使真实的粒子是以波包形式出现的，但是由于平面波相关的解可以叠加得到一般解，因此研究单一平面波非常重要。

（张朝阳回顾近一个月的量子力学课程主要内容）

考虑远离势场的薛定谔方程 求解得到散射定态的渐近形式

在之前几节物理直播课中介绍的都是一维情况下的量子力学问题，在这里，张朝阳转而考虑起了三维情况下的散射问题。为简单起见，考虑的是中心势场V(r)，这里的r是到坐标原点的距离。

对于中心势场，在以前课程中考虑过库仑势与谐振子势，只不过当时考虑的都是束缚态，也就是说粒子被束缚在一定区域内并且粒子出现在无穷远处的概率为零的态。

实际上对于力程有限的势，除了束缚定态，还存在一种被称为散射定态的能量本征态，其对应的物理过程是，具有特定能量的粒子从无穷远处向势场入射，然后被势场散射。

不管是哪种定态，都满足对应的定态薛定谔方程：

因为我们假设了力程有限，因此可以选择势能零点使得无穷远处的势为零（注：所以本次物理课的分析不适用于像谐振子这样的中心势场）。由于粒子来自于无穷远处，它的能量E_k必定大于零，于是可以引入k将E_k表示为

这样参数化E_k主要是参照了自由粒子的能量表达式。借助此参数化，定态薛定谔方程可以改写为

其中U(r)为

由于只关心远离势场的入射态到远离势场时的出射态的转变，而这只与散射定态在r很大时的形式有关，与散射定态在原点附近的波函数无关，因此张朝阳分析了散射定态在r趋向于无穷时的渐近行为。当r趋向于正无穷时，U(r)趋向于0，从而定态薛定谔方程可以简化为

在直角坐标系下有

由此可以看出前渐近方程其实是由三个一维自由粒子的方程相加得来，因此，考虑了如下形式的解：

将其代入渐近条件下的薛定谔方程可以得到

张朝阳介绍说，这个ψ_k1其实就是朝向量k传播的平面波，波数是k。这里的结果表明，从无穷远处入射的粒子可以近似用平面波来表示。

根据前面的分析可以知道，只要求出了单一频率的波的散射情况，一般波包的散射可以由叠加原理得到。因此，张朝阳接下来将只考虑单一频率的波的散射。

ψ_k1代表的是入射平面波，为了简化问题，张朝阳将入射方向取为z轴正方向，从而

因为这里考虑的是散射过程，而ψ_k1只表示入射平面波，我们还缺少散射波的信息。注意到势场是中心势场，以及根据我们的直观理解，散射波应该是沿径向朝各个方向传播出去的，所以应该使用球坐标来分析散射波渐近行为。

根据所学知识，拉普拉斯算子在球坐标(r,θ,ϕ)下的表达式为

为了表述方便，用K来表示拉普拉斯算子中与角度坐标有关的部分：

张朝阳提示，在以前的物理直播课中介绍过K的本征函数，它们是球谐函数Y_{l,m}，满足

在球坐标系下，定态薛定谔方程可以表示为

如果使用分离变量法，可以将ψ_k表示为

将其代入前述球坐标定态薛定谔方程可得

由于分离变量法已经介绍过很多次了，此次的分离变量法的详细步骤张朝阳没有给出，不过读者们可以参考以前的物理直播课，比如求解氢原子能级时的物理课程。

当r趋向于正无穷时，上述方程会退化为

使用比奈变换，令h(r) = r f(r)，那么可以得到h(r)满足

所以

代回原始波函数可以得到

注意到上式中的e^{ikr}/r部分表示沿径向向着无穷远处传播的球面波，e^{-ikr}/r表示沿径向从无穷远处向原点传播的球面波。根据我们考虑的问题，从无穷远处向原点传播的球面波是不能存在的，因此e^{-ikr}/r部分应该被舍弃掉。

再考虑到入射平面波不是角动量本征态，由此可知散射波必定不是角动量本征态，而是由一系列角动量本征态叠加而来，所以更一般的ψ_k2应该被写为

上式中的级数部分只与角度有关，与半径r无关，因此可以记为g(θ, ϕ)。综合入射波与散射波，可以得到散射定态的无穷远处渐近解为

（张朝阳推导得到散射定态的渐近解）

计算概率流密度 分析得到散射截面

前面得到了散射定态的渐近行为，那应该怎样与实验中的观测结果联系在一起呢？张朝阳介绍说，在实验上可以测量特定立体角内的散射粒子数，借助概率流密度可以建立起波函数与接收到的粒子数之间的关系。对于入射散射定态，入射平面波充满整个空间，它与散射波会发生干涉。

但是在实际情况中，粒子是以波包形式前进的，经过散射之后，只要散射波前进得足够远，那么散射波与入射波包将不会有重叠，从而不必考虑入射波与散射波之间的干涉。

不过，当散射角度(θ,ϕ)满足θ = 0时，无论散射波前进得有多远，都会与入射波产生干涉，此时必须考虑两者的干涉效应。为简单起见，忽略了入射波与散射波之间的干涉。

根据概率流密度的表达式

可以得到入射波的概率流密度大小为

在球坐标下▽可以表示为

将其代入概率流密度的表达式中，容易发现，概率流密度的角向分量会被r^{-3}次幂所压低，因此可以忽略不计。而概率流密度的径向分量表示散射掉的粒子流密度，有

为了快速得到上式的结果，张朝阳提示说只有对r的偏导数作用在e指数函数上才能贡献非零的概率流密度。据此可以得到

于是，单位时间经过立体角dΩ的粒子数为

由于dn是单位时间内经过的粒子数，j_{入}是单位时间内经过单位面积的粒子数，所以上式中的|g(θ,ϕ)|^2具有面积量纲。流过单位立体角的粒子流必然是入射粒子流的一部分，这部分所占的等效入射横截面大小就被称为微分散射截面，记为σ(θ,ϕ)。

微分散射截面越大，表明散射粒子越多，反之则越少。单位时间内流过单位立体角的粒子数为dn/dΩ，这部分粒子作为入射粒子的一部分时，所占的等效入射横截面大小为

根据前一式即可得到微分散射截面为

（张朝阳得到微分散射截面表达式）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下：

入射平面波渐近解

量子力学中的一维势垒模型

量子力学的基本概念